区块链中的数学-SM2算法的推荐参数和加解密过程

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区块链blockchain中的数学-SM2算法的推荐参数和加解密过程

本节讲了SM2算法的推荐参数和加解密过程, 可以看出加密过程跟secp256k1不同点

写在前面

最近又有不少新关注的朋友,建议从前往后阅读,学习曲线相对平滑。大牛除外 ! 上一节讲了secp256k1公钥恢复实现,从本节起介绍下我们国家推出的国密标准算法:sm2. 国内从事区块链blockchain研发的项目出于合规的要求,尤其是联盟链项目,多数会采用国密标准。国内标准是一套体系,不仅包括加密算法,还有摘要算法,密钥交换等。由于前面讲了椭圆曲线的原理和secp256k1实例, 现在来看SM2算法就比较容易了。

SM2概述

SM2是国家密码管理局于2010年12月17日发布的椭圆曲线公钥密码算法。SM2算法是一种更先进安全的算法,在我们国家商用密码体系中被用来替换RSA算法。 随着密码技术和计算机技术的发展,目前常用的1024位RSA算法面临严重的安全威胁,这一点在RSA安全性文章中说过。我们国家密码管理部门经过研究,决定采用SM2椭圆曲线算法替换RSA算法。

SM2椭圆曲线方程:$y^2 equiv x^3 + as + b mod p$

下面是具体推荐参数信息: 素数p: FFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFF

系数a:FFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFC

系数b: 28E9FA9E9D9F5E344D5A9E4BCF6509A7F39789F515AB8F92DDBCBD414D940E93

基点G=G(x,y),其阶为n。

坐标Gx:32C4AE2C1F1981195F9904466A39C9948FE30BBFF2660BE1715A4589334C74C7

坐标Gy:BC3736A2F4F6779C59BDCEE36B692153D0A9877CC62A474002DF32E52139F0A0

阶n :FFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF7203DF6B21C6052B53BBF40939D54123

h: 1

这个角度,可以看到与secp256k1的区别是,使用的参数不同(secp256k1参数),但方程式一致。

SM2加密过程

加密过程: 符号设定: 设消息为比特串M ,klen 为 M 的比特长度, $P_B$ 接收者公钥

作为加密者的用户 A 应实现以下运算步骤:

  1. 用随机数发生器产生随机数 $K in [1,n-1]$;
  2. 计算椭圆曲线点 $C_1=[k]G=(x_1,y_1)$,([k]G 表示 k*G );
  3. 计算椭圆曲线点 $S=[h] * P_B$ ,若S是无穷远点,则回到步骤1 ;
  4. 计算椭圆曲线点 $[k] * P_B =(x_2,y_2)$ ;
  5. 计算 $t=KDF(x_2 |y_2,klen)$,|表示连接,若 t 为全0比特串,则返回 步骤1;
  6. 计算 $C_2=M bigoplus t$ ;
  7. 计算 $C_3=Hash(x_2|M|y_2)$;
  8. 输出密文 $C=C_1|C_2|C_3$,也可表示成 $C=(C_1,C_2,C_3)$

注意步骤3中h=1,所以也可以省略。3中的结果检查可以和2一起做。流程图表示如下:

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图中省略步骤3.

解密过程

解密者用户B对密文C做如下运算步骤:设klen为密文中 $C_2$ 的比特长度

  1. 从C中取出 $C_1$,将$C_1$转换为椭圆曲线上的点,验证$C_1$是否满足椭圆曲线方程,

  2. 计算 $S=[h]C_1$ ,如果S是无穷远点,出错退出;

  3. 计算椭圆曲线点 $d_B C_1 =(x_2,y_2)$ (h=1,可以直接这么写,严格来说是 $d_B S =(x_2,y_2)$);

  4. 计算 $t=KDF(x_2|y_2,klen)$,若t为全0比特串,则报错并退出;

  5. 从C中取出比特串 $C_2$,计算 $M’=C_2 bigoplus t$;

  6. 计算 $u=Hash(x_2|M’|y_2)$,从C中取出比特串$C_3$,若 $u !=C_3$ ,则报错退出;

  7. 得到明文M′。

流程图如下:

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为什么这样解密可得到原文?

解密正确性

用户A持有B 的公钥 $P_B=d_B *G$,用户 B 持有私钥$d_B$ 关键是证明解密第二步得到的$(x_2,y_2)$等于加密过程步骤4 , 这样后面算出来的t也相等,进而 $M’=C_2 bigoplus t =M bigoplus t bigoplus t=M$ 那么 $(x_2,y_2)$是否相等呢?

$(x_2,y_2) =d_B C_1$ ,而 $C_1=kG $,则可以推导:

$d_B C_1=d_B kG=kP_B$

还有,显然$u==C_3$ 。

小结

本节讲了SM2算法的推荐参数和加解密过程, 可以看出加密过程跟secp256k1不同点。这个过程中用到了KDF(key derive function)下次再说。

下一篇继续说SM2的签名过程。


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