Sin7Y团队深入研讨——几种多项式承诺方案

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  • 零知识证明

希望通过本文的介绍,让大家对这几种主流的PC方案有更全面的认识,然后在实际的应用过程中,选择最合适的PC方案。

在学习各种零知识证明算法的过程中,经常会看到这样一个 Cryptographic Primitives:Polynomial Commitment(PC)。

先看一下 Commitment 的定义:一个 Committer 提供一个 Public Value,这个 Value 称为 Commitment,是与原始的 Message 绑定(即 Computation Binding),且不暴露 Message(即 Hiding);Committer 需要“Open”这个 Commitment,并发送 Message 给 Verifier 来验证 Commitment 和 Message 的对应关系。

而 PC 可以看成对某个多项式 P 的 Commitment,Committer 可以在不暴露多项式 P 的前提下,通过一个 Proof,来证明多项式在某点 z 的值,满足 P(z) = a。

实现 PC 的方案有很多种:

  1. KZG10 Commitment :基于pairing group
  2. IPA Commitment:基于discrete log group
  3. FRI Commitment:基于hash function
  4. DARKS Commitment:基于 unknown order group …

本篇将从多个点比较上述多项式方案的不同之处。

注:并不详细阐述每个方案的具体原理细节,有兴趣可以查阅论文及相关解读文档。

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<center>表1</center>

表 1 中给出了常见 PC 的计算形式,在不同的零知识证明算法中,正是由于选择了不同的 PC 方案,才导致了算法本身的不同,下面,我们就通过一张图来表述零知识算法与以上 PC 方案的对应关系:

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不同的 PC 方案,导致不同的零知识证明算法具有不同的性质,在效率和安全性上也有明显的区别。比如,以 FRI 为基础的 zk-STARKs 算法,由于其依赖很少的数学安全假设,因此是抗量子的,且不需要任何可信设置;

再者,以 DARK 为基础的 Supersonic 算法,如果 unknown order group 是 RSA Group,则是需要可信设置的,依赖大数分解困难性假设;如果是 Class Group,则是不需要可信设置的,依赖计算 Class Group 元素数量的困难性。下面,我们仍然以一个表格的形式对比下,每个 PC 的优缺点:

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其中,绿色,黄色,红色分别对应优,中等,一般。

在零知识证明算法中,Succinct 一般代表:Prove Succinct、Verify Succinct、Communication Succinct。因此,在上表中第二行,根据每个算法对应的上述三个指标的不同,对其优劣进行了标识。接下来,让我们具体看一下,每个 PC 对应的性能指标:

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颜色标识与上述一致。

从表格中可以看出,从 Succinct 角度评比,KZG 方案最佳;它的证明大小和验证时间都是常量级,也就是说 Circuit 的 size 增大,不会导致 Proof size 的增大;而其他的 PC 方案,Proof size的大小,都与 circuit 规模有关,且为递增关系。但是,从安全性角度分析,KZG 的方案由于需要第三方的可信设置(参见表 1),因此相对于其他的方案,安全性弱一些。

上述过程给出了几种主流 PC 方案的多角度比较分析,在实际的生产应用过程中,需要项目方对其应用场景做全面评估。到底是要更高的安全性,还是要更好的效率,这一直是一个权衡博弈的问题。希望通过上述的介绍,让大家对这几种主流的 PC 方案有更全面的认识,然后在实际的应用过程中,选择最合适的 PC 方案。

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